Matematik, modern dünyayı nasıl inşa etti?

Matematik, Sanayi Devrimi'nin temel taşı olmuştur. Yeni bir ölçüm ve hesaplama paradigması, bilimsel keşiflerden daha çok, endüstriyi, moderniteyi ve bugün içinde yaşadığımız dünyayı inşa etti.

Endüstri Devrimi'nin, Newton'un hareketin altında yatan mekanik yasaları ortaya çıkardığı ve Galileo'nun evrenin gerçek şeklini öğrendiği Bilimsel Devrim'den önce gerçekleştiğini okulda duymuş olabilirsiniz. Bu yeni bilgiler ve bilimsel yöntemle donanmış olan Sanayi Devrimi'nin mucitleri, saatlerden buhar makinelerine kadar her şeyi değiştirecek makineler yarattılar.

Ama anahtar gerçekten bilim miydi? Sanayi Devrimi'nin önemli icatlarının çoğu derin bir bilimsel anlayışla desteklenmemişti ve mucitleri de bilim insanı değildi.

Standart kronoloji, önceki 500 yılın birçok önemli olayını göz ardı etmektedir. Yaygın ticaret Avrupa çapında genişledi. Sanatçılar doğrusal perspektifi kullanmaya başladı ve matematikçiler türevleri kullanmayı öğrendi. Finansörler anonim şirketler kurdu ve gemiler açık denizlerde seyretmeye başladı. Mali açıdan güçlü devletler küresel ölçekte savaş yürütüyordu.

Tüm bu ilerlemelerin içinden geçen entelektüel bir iplik vardır: ölçüm ve hesaplama. Geometrik hesaplamalar resim, astronomi, haritacılık, ölçme ve fizik alanlarında çığır açmıştır. Matematiğin insan işlerine girmesi muhasebe, finans, mali işler, demografi ve ekonomi alanlarında ilerlemelere yol açmıştır - bir tür sosyal matematik. Tüm bunlar, ölçüm, hesaplama ve matematiğin neredeyse her alana başarıyla uygulanabileceği fikrinin altında yatan 'hesaplama paradigmasını' yansıtmaktadır. Bu paradigma, matematik ders kitaplarının ve okullarının çoğalmasıyla gözlemleyebileceğimiz gibi, eğitim yoluyla Avrupa'ya yayılmıştır. İlerlemeyi sağlayan, bilimin kendisinden çok bu paradigmaydı. Moderniteyi yaratan da bu matematiksel devrimdi.

Geometrik yenilikler

Geometrideki ilerlemeler Öklid'in yeniden keşfedilmesiyle başlamıştır. Öklid'in Elementler'inin bilinen en eski Ortaçağ Latince çevirisi, Müslüman İspanya'dan Arapça bir kaynak kullanılarak Bathlı Adelard tarafından 1120 civarında el yazması olarak tamamlanmıştır. Latince basılı bir versiyonu 1482 yılında yayımlanmıştır. Matematikçi Tartaglia'nın Öklid'in eserini 1543'te İtalyancaya çevirmesinin ardından, bunu hızla diğer yerel dillere yapılan çeviriler takip etti: 1558'de Almanca, 1564'te Fransızca, 1570'te İngilizce, 1576'da İspanyolca ve 1606'da Hollandaca.

Öklid'in ötesinde, Alman matematikçi Regiomontanus 1464 yılında De Triangulis Omnimodis (Her Türden Üçgenler Üzerine) adlı ilk Avrupa trigonometri ders kitabını kaleme almıştır. On altıncı yüzyılda François Viète, bilinmeyen değişkenlerin x, y ve z gibi sembollerle gösterildiği modern sembolizm ile cebir yapmanın sözel yönteminin değiştirilmesine yardımcı oldu. René Descartes ve Pierre de Fermat, eğrilerin ve yüzeylerin cebirsel denklemlerle tanımlandığı analitik geometriyi geliştirmek için Viète'in yenilikleri üzerine inşa ettiler. On yedinci yüzyılın sonlarında Isaac Newton ve Gottfried Leibniz, analitik geometri yöntemlerini kalkülüsün geliştirilmesi yoluyla hareket ve değişim çalışmalarına genişletti.

Matematikteki teorik gelişmelerin yanı sıra, bu teorileri dünyaya uygulamak için kullanılan araçlar da önemli ölçüde gelişti. Çarpıcı bir örnek, astronomların yukarıdaki resimdeki duvar kadranı gibi yeni aletler kullanmaya başlamasıyla hassasiyette büyük artışlar görülen açısal ölçümden geliyor. Açısal ölçüm, aletleri nesnelere doğrultarak ve açılarını bir ölçüm ölçeğinde okuyarak çalışır. İşaretlemenin hassasiyeti teleskopik nişangâhlar ve hassas ayarlanabilen mekanizmalarla geliştirilirken, daha iyi tasarlanmış ölçüm ölçekleri astronomların benzer açılar arasında ayrım yapmasını sağladı. Aşağıdaki grafik, 1550'de yedi yay dakikası ya da 0,11 dereceden 1850'de 0,06 yay saniyesi ya da 0,000017 dereceye ulaşan hassasiyet eğilimini göstermektedir - üç yüzyıl boyunca neredeyse 7.000 katlık şaşırtıcı bir gelişme.

Hindu-Arap rakamlarının benimsenmesi ve ondalık gösterimin yaygınlaşması hesaplamaya yardımcı oldu. 1614 yılında John Napier'in logaritmayı tanıtması çarpma işlemini toplama işlemine dönüştürdü ve bunu on yıl sonra çarpma ve bölme işlemlerini etkin bir şekilde gerçekleştirebilen sürgülü cetvelin icadı izledi (aşağıdaki resme bakın). Bu dönemde ayrıca basılı matematiksel tablolar da kullanılmaya başlandı. Bu tablolar standart matematiksel fonksiyonların değerlerini belgelemektedir ve elektronik hesap makinelerinin ortaya çıkmasından önce hesaplama için çok önemliydi. Bu tabloların oluşturulması, trigonometrik özdeşlikler gibi bilinen ilişkilerin kullanılarak eski fonksiyonlardan yeni fonksiyon değerlerinin hesaplanmasını içeriyordu. Teoride basit olsa da, tablo yapımı hesaplama açısından zahmetliydi. 1596 tarihli ünlü trigonometrik tablo Opus Palatinum de Triangulis, Habsburg imparatoru Maximilian II tarafından finanse edilen pahalı bir çalışmaydı: 100.000 trigonometrik oranı -on ondalık basamağa kadar doğru- hesaplamak matematikçi Rheticus ve insan bilgisayarlardan oluşan ekibinin 12 yılını aldı ve Rheticus'un bir matematik profesörü olarak yıllık maaşının 50 katından fazla bir maliyete mal oldu.

Uygulamalı geometri

Matematiksel bilgi, alet yapımı ve hesaplama alanındaki gelişmeler, matematiksel temelli yenilikler dalgasını desteklemiştir. 

On beşinci yüzyılda doğrusal perspektif, üç boyutlu uzayın iki boyutlu bir yüzey üzerinde temsil edilmesini mümkün kılarak resimde devrim yarattı. Matematiksel temeller Leon Battista Alberti'nin 1415 tarihli ufuk açıcı eseri De Pictura'da (Resim Üzerine) açıkça görülmektedir. Açılış paragrafı, incelemenin 'konuyla ilgili yönlerini matematikçilerden ödünç alacağını' duyurur. Nokta, çizgi, düzlem ve yüzey gibi Öklidyen kavramları ortaya koyduktan sonra Alberti, perspektif resmin ilkelerini açıklamak için bu geometrik dili kullanır.

Haritacılık ve haritacılık da ilerledi. Alberti 1450'de Descriptio Urbis Romae'yi (Roma Şehrinin Tanımı) yazdı; bu kitapta Roma'daki önemli yerlerin koordinat tablosu ile birlikte arazi ölçümü, coğrafi konumların, mesafelerin ve alanların ölçümü için talimatlar yer alıyordu.

Takip eden yüzyıllarda daha fazla gelişme kaydedildi. Önemli bir gelişme nirengi yönteminin gelişmesiydi. Aşağıdaki diyagram temel fikri göstermektedir: A ve B noktalarına sahipseniz ve C ile ɑ ve β açılarını ölçerseniz, bu C'nin konumunu benzersiz bir şekilde belirler. Ayrıca, A ve B arasındaki uzunluk biliniyorsa, yöntem A ve B'den C'ye olan mesafeleri de verir. Üçgenleme cazipti çünkü pahalı mesafe ölçümlerinin yerini ucuz açı ölçümleri alıyordu. Matematikçi Gemma Frisius 1533 yılında nirengi yönteminin harita yapımında nasıl kullanılabileceğini açıkladıktan sonra yöntem Avrupa'da hızla yayıldı. Astronom Tycho Brahe 1578'de gözlemevinin bulunduğu Hven adasının haritasını çıkarmak için nirengi yöntemini kullandı ve yöntem yüzyılın sonundan önce yayınlanan birçok ders kitabında anlatıldı.

Matematik Rönesans savaşını da şekillendirmiştir. Yeni topların gücüne karşı koymak için tahkimat geometrisi, trace italienne olarak adlandırılan yıldız kalenin kullanılmaya başlanmasıyla daha karmaşık hale geldi. Yıldız kaleler, duvarlara doğrudan top ateşi açılmasını engelleyen glacis (eğimli banklar) ve ravelinlerden (dışa doğru yükselen duvar üçgenleri) oluşan koruyucu bir kuşakla çevrili, karmaşık şekilli alçak kalelerdi. Üçgen burçları top atışlarını saptırırken, savunmacıların surlara tırmanmaya çalışan saldırganları enfilade etmesine (uçtan uca bir hat boyunca ateş etmesine) olanak tanıyordu. Bunları inşa etmek için kale yapımı uygulamalı matematiğin bir alanı olarak ortaya çıktı, çünkü geometriyi doğru yapmak düşman top ateşinden korunmayı savunmacılar için iyi bir görüş hattı ile birleştirmek için çok önemliydi.

Aynı zamanda balistik, topçuluğun matematiksel çalışması olarak ortaya çıktı. Nova Scientia (Yeni Bir Bilim) adlı ilk eser 1537 yılında Öklid çevirmeni Tartaglia tarafından yayımlandı. Kitap, mermi hareketinin ilkel bir teorisini sunar, 45 derecelik açının bir topun menzilini neden en üst düzeye çıkardığına dair bir argüman sunar ve topçuların mesafeleri ölçmek ve top yüksekliklerini kalibre etmek için kullanabilecekleri aletler hakkında rehberlik eder. Başlık sayfasında Tartaglia, Öklid'in girişini koruduğu duvarlarla çevrili bir bahçede yedi ilham perisine yeni yörünge bilimini gösterirken resmedilmiştir.

Modern astronomi de geometriye dayanıyordu. Batlamyus, Kopernik, Brahe ve Kepler'in rakip gök modellerinin açısal ölçümler için farklı sonuçları vardı, bu nedenle geometrik argümanlar astronomik tartışmaların anahtarı haline geldi.

Matematikçi Regiomontanus, temel geometrinin gök cisimlerine olan uzaklığı belirlemek için nasıl kullanılabileceğini gösterdi. Buradaki kilit fikir, ister Dünya'nın kendi ekseni etrafında, ister göklerin Dünya etrafında döndüğüne inanın, dönmenin gözlemcilerin bulunduğu yüzeyde değil, Dünya'nın merkezi etrafında olduğuydu. Bu durum göz önüne alındığında, yakın nesnelerin göklerde uzak nesnelerden daha hızlı hareket ettiği ortaya çıkmaktadır. Aşağıdaki diyagram, dönen bir cismin kenarındaki bir gözlemcinin yakın ve uzak nesneleri nasıl algıladığını göstermektedir: gözlemci döndükçe, yakın kırmızı nokta uzak siyah noktayı geçiyor gibi görünür. Tycho Brahe, 1572 süpernovası ve 1577 kuyruklu yıldızının Ay'ın çok ötesinde olması gerektiğini, çünkü uzak yıldızlara göre Ay'dan çok daha az hareket ediyor gibi göründüklerini savunmak için bu mantığı kullanmıştır. Bu, astronomi tartışmaları için önemliydi ve Aristoteles'in gökler değişmezken yalnızca ay-altı kürenin değiştiği görüşüne meydan okuyordu.

Daha sonra, Batlamyus'un yer merkezli gök modeli Galileo Galilei tarafından son bir darbe aldı. Matematik bilgisinden ve mühendislik deneyiminden yararlanan Galileo, yeni icat ettiği teleskobun büyütme oranını geliştirdi ve bunu Venüs'ün de tıpkı Ay gibi evreleri olduğunu keşfetmek için kullandı. Batlamyus modeline göre, Venüs her zaman Dünya ile Güneş arasında yer alır ve hiçbir zaman 'tam Venüs' olamazdı, çünkü bu ancak Venüs'ün Dünya'nın bakış açısından Güneş'in ötesinde yer alması durumunda gerçekleşebilirdi. Galileo, Venüs'ün gölgelerinin gezegenin Dünya yerine Güneş'in yörüngesinde dönmesiyle tutarlı olduğunu gösterebilmiştir.

Astronomik modeller, gök cisimlerinin gelecekteki belirli tarih ve saatlerdeki konumlarını tahmin eden almanakların oluşturulmasını destekleyerek navigasyona katkıda bulunmuştur. Denizciler farklı gök cisimlerinin farklı enlemlerde ve yılın farklı tarihlerinde ufuktan ne kadar yüksekte olduğunu bilirlerse, açılarını ölçerek ve almanaktaki ilgili tarihe başvurarak enlemi bulabilirlerdi. Bu, açık denizde seyrüseferi kolaylaştırdı; çünkü gidecekleri yerin enlemini bilen denizciler, Güneş'in ya da başka bir gök cisminin gökyüzündeki konumu istedikleri enleme ulaştıklarını gösterene kadar kuzeye ya da güneye yelken açabilir ve ardından bu enlem boyunca seyredebilirlerdi. Bu onları kıyıyı takip etme zorunluluğundan kurtarıyordu. Doğru enleme sahip olmanın önemi, 1707'de dört İngiliz savaş gemisinin Cornwall açıklarında Scilly Adalarına çarpmasının ardından 1.400'den fazla İngiliz denizcinin boğulmasıyla, enlemlerinin 24-36 deniz mili yanlış tahmin edilmesi nedeniyle (yaygın inanışa göre sadece boylamdaki bir hata değil) fazlasıyla kanıtlandı.

Sosyal yaşamın matematikselleştirilmesi

Sosyal matematiğin başlangıcı Arap cebirinin Avrupa'ya girmesiyle olmuştur. Fibonacci olarak bilinen Pisa'lı Leonardo'nun Liber Abaci adlı eserinin 1202 yılında yayınlanması önemli bir dönüm noktası olmuştur. İş dünyasından ve günlük yaşamdan örneklere dayanan Liber Abaci, Hindu-Arap rakamlarını ve temel cebiri tanıtarak bu araçların standart aritmetik hesaplamaları yapmak ve kârın bölüşülmesi gibi iş sorunlarını çözmek için nasıl kullanılabileceğini göstermiştir. Fibonacci Avrupa'da Arap rakamlarını kullanan ilk kişi değildi, ancak etkili oldu. Ayrıca, gelecekteki gelirleri faiz oranına göre iskonto ederek zaman içindeki ödeme akışlarını tek bir değere dönüştüren net bugünkü değerleri de tanıttı.

Bu teorik temeller sosyal matematikte yeniliklere yol açtı. Erken bir örnek, finansal işlemlerin ayrı borç ve alacak hesaplarına kaydedildiği çift girişli defter tutmadır. Bilinen en eski örnek 1299 yılına aittir, ancak matematikçi Luca Pacioli'nin Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita (1494) adlı basılı kitabının yayınlanmasının ardından Avrupa çapında yaygınlaşmıştır. Çift girişli defter tutma, tüm işlemleri iki kez kaydederek hata olasılığını azaltmış ve firmaların değişen finansal pozisyonlarını temel akışlara kadar izleyebilmelerini sağlamıştır.

Çift girişli defter tutma İtalya'daki özel tüccarlar arasında yayıldı ve faiz oranı matematiğindeki gelişmelerle birlikte özel finans kurumlarının yükselişini destekledi. Fuggerler ve Mediciler gibi bankacılık imparatorlukları, genişleyen faaliyetlerini ve sermaye yapılarını yönetmek için buna güvenmiş ve iyi muhasebe, borç alanların denetlenmesini kolaylaştırarak borç veren kurumları desteklemiştir.

Bu dönemde devletlerin mali uygulamalarında da iyileşmeler görüldü. Temel motivasyon savaşın değişen ihtiyaçlarıydı. Erken modern dönemde, Orta Çağ'ın sadakatle bağlı vasallarının yerini ağırlıklı olarak profesyonel paralı askerlerden oluşan ordular aldı. Nakit para savaş alanının dili haline geldi ve iyi bir mali yönetim devlet için bir hayatta kalma zorunluluğu haline geldi.

On beşinci yüzyılın sonlarında Habsburg monarşisi, merkezi bir birimin gelir, gider ve kredi akışlarını takip ettiği Hofkammer veya saray odası devlet maliyesi modelini geliştirdi. Hofkammer yaklaşımı on altıncı yüzyılda tüm Almanya'ya yayıldı ve mali kapasitedeki artışlarla, yani bir devletin vergiler veya borçlanma yoluyla ne kadar para toplayabileceği ile ilişkilendirildi. Hofkammer'in muhasebe idealleri, mahkeme muhasebecisinin 'farklı rubrikler ve paragraflarla düzenli defterler oluşturması ve bunları esasen muhafaza etmesi' gerektiğini belirten 1568 tarihli bir talimat kılavuzunda görülebilir.

Bireysel reformcuların yaşamları, kamu muhasebesindeki yeniliklerin özel sektörden yayıldığını göstermektedir. Thomas Cromwell İngiltere'ye dönmeden önce bir İtalyan bankacılık firmasında çalışmış ve kraliyet mali idaresini kişiselleştirilmiş feodal bir sistemden modern bir devlet bürokrasisine doğru yeniden yapılandırmıştır ki buna Yönetimde Tudor Devrimi denmektedir. Hollanda'da polimat Simon Stevin bir tüccar firmasında çalışmış ve Hollanda stadtholder'ı Orange'lı Maurice'in baş danışmanı olmadan önce ilk faiz oranı hesaplama tablosunu yayınlamıştır. Stevin aynı zamanda 1607'de devlet muhasebesinin ilk analizini yayınlayan bir muhasebe teorisyeniydi. Fransa'da Jean-Baptiste Colbert önde gelen bir tüccar ailesinde doğdu ancak hükümete girdi ve on yedinci yüzyılın sonlarında Fransa'nın mali idaresinde reform yapmaktan sorumlu oldu.

Erken modern dönem, faiz oranı hesaplamaları ve özel ve kamu muhasebesindeki yeniliklerin yanı sıra, finansal piyasalarda, özellikle de devlet borcu piyasalarında da gelişmelere sahne olmuştur. Burada İtalyan şehir devletleri önemli yenilikçilerdi. Acil durumlarda, varlıklı vatandaşlara zorla borç verilerek fon sağlanmıştır. Zorunlu olmasına rağmen, bu borçlar faiz ödüyor ve böylece alacaklılar için varlık haline geliyordu. Bu borçlar için ikincil bir piyasa gelişti ve anapara devlet tarafından itfa edilmese bile alacaklıların varlıklarını nakde çevirmelerini mümkün kıldı.

On beşinci yüzyıl boyunca İtalyan borçlarının yüzde beşinin belirli bir yılda alınıp satıldığı tahmin edilmektedir. Özel finansörlerin ve onların kamusal muadillerinin artan karmaşıklığı finansal yenilikleri desteklemiştir: İsveç, bakır gelirlerini ipotek ederek büyük güç statüsüne yükselişini finanse etmiş, İngiltere ise borcunu daha cazip hale getirmek için ayrı bir varlık olarak Bank of England'ı kurmuş ve tahvil ihracı gibi ayrıcalıklara sahip olmuştur.

Son olarak, erken modern dönem niceliksel sosyal bilimin doğuşuna tanıklık etti. İngiliz William Petty, 1650'lerde Cromwell'in ordusu için İrlanda'yı araştırdıktan sonra, vergiler, harcamalar, ticaret ve parasal konularla ilgili konularda niceliksel kesinlik arayan 'politik aritmetik' adlı yeni bir bilimi savundu. Bir başka İngiliz John Graunt, Ölüm Oranları Üzerine Yapılan Doğal ve Siyasi Gözlemler adlı çalışmasında ölüm oranlarını analiz etmesi nedeniyle genellikle demografinin kurucusu olarak kabul edilir. Daha sonra, hayat tabloları ve yeni olasılık teorisi, Hollandalı Johan de Witt'in The Worth of Life Annuities Compared to Redemption Bonds (1671) adlı eserinin olasılık teorisinin finansa ilk uygulamalarından biri olarak kabul edilmesiyle, gelişmekte olan hayat sigortası endüstrisinde fiyatlandırmayı desteklemek için birleştirildi. Bu ilerlemelerin üzerine inşa edilen on sekizinci ve on dokuzuncu yüzyıllar ekonomi, epidemiyoloji, demografi ve aktüerya bilimi gibi modern disiplinlerin gelişimine tanıklık etmiştir.

Hesaplama paradigması 

Anlatımızdaki yenilikler çok çeşitli alanları kapsıyor, ancak birleştirici bir özellikleri var: gerçek dünya sorunlarının üstesinden gelmek için ölçüm ve matematiksel hesaplamaların kullanılması. Biz buna 'hesaplama paradigması' diyoruz. Aşağıdaki diyagram bu paradigmanın özünü göstermektedir. Bir problemi çözmek için öncelikle niceliksel ölçüm kullanılarak sayısal bir temsile dönüştürülmesi gerekir. Bu temsil daha sonra gerçek dünyaya uygulanacak bir çözüme ulaşmak için modelleme ve hesaplamaya tabi tutulur.

Paradigmadaki ilk adım ölçümdür - gerçek dünyadaki durumun sayısal olarak kodlanması. Örneğin, Galileo tekdüze ivme üzerine çalışırken, ilk olarak bir topun farklı uzunluklardaki eğimlerden aşağı yuvarlanması için geçen süreyi ölçmüştür. Benzer şekilde, bir muhasebeci fiziksel malların, varlıkların ve işlemlerin envanterini, ortak bir para birimiyle ifade edilen ve farklı maliyet, gelir, varlık ve borç hesaplarına tahsis edilen bir dizi miktara dönüştürür. Her iki durumda da nihai ürün matematiksel bir gösterimdir. 

Daha sonra, temsili işlemek için matematiksel tekniklerin ve modellerin kullanılmasını içeren manipülasyon gelir. Galileo, bir topun bir eğimden aşağı yuvarlanma süresinin eğim mesafesinin karekökü kadar arttığını keşfetmek için oranları hesaplamaya ihtiyaç duymuştur. Muhasebeciler kârı toplam gelirler ile maliyetler arasındaki fark olarak, öz sermayeyi ise toplam varlıklar ile toplam borçlar arasındaki fark olarak hesaplar. Her iki durumda da nihai ürün matematiksel bir sonuçtur.

Son adım, matematiksel sonucu gerçek dünyada bir eylem gerçekleştirmek için uygulamaktır. Fizikte bu, hareket yasalarına bağlı bir saat tasarımı ya da belirli bir hareket modelini reddetmeye yönelik bilimsel bir karar olabilir. Muhasebede bu, karlılık hesaplamasına dayalı bir yatırım kararı ya da ödeme gücü hesaplamasına dayalı bir iflas kararı olabilir.

Günümüzde, matematiksel olarak yönlendirilen farklı karar verme türleri genellikle temelde farklı faaliyetler olarak görülmektedir. Doğal dünyayı açıklamak için matematiğin kullanılması bilime; yönleri belirlemek için geometrik hesaplamaların kullanılması navigasyona; iş kararları için muhasebe hesaplamalarının kullanılması finansal analize aittir. Ancak bu uygulamaların hepsi, davranışları yönlendirmek için niceliksel ölçüm ve matematiksel manipülasyonu nasıl birleştirdikleri konusunda temel bir mantığı paylaşmaktadır. 

Hesaplama paradigmasının kökeni ve yayılması

Hesapçı paradigmanın yayıldığına dair kanıtlar nelerdir? Bilişsel bir strateji olarak hesaplama paradigması, antropologların kültürel özellik ya da kültürel aktarımın ayrı bir birimi olarak adlandırdıkları şeye yakındır. Antropologlar genellikle kültürel özelliklerin yayılımını, inovasyon anlatısındaki prosedürümüze benzer şekilde, ilgili eserlerin ve davranış kalıplarının yayılımından çıkarırlar. Ancak, prensip olarak, kültürel özelliklerin yayılması doğrudan öğrenme ve taklit süreci yoluyla da gözlemlenebilir. Pratikte genellikle zor olsa da, matematik neredeyse evrensel olarak okullar ve ders kitabı materyalleri aracılığıyla öğrenildiği için bu yol hesaplama paradigması için mümkündür.

Bu stratejiyi kullanarak, Avrupa'daki hesaplama paradigmasının kökeni, Orta Çağ'ın sonlarında Arap matematiğinin tanıtılmasına kadar izlenebilir. Merkez üssü kuzey İtalya'ydı. Pisa'lı Leonardo'nun Liber Abaci'sinin 1202'de yayınlandığı yer burasıydı ve on üçüncü yüzyıldan itibaren bölge, Hindu-Arap rakamlarının ve hesaplama ve problem çözme için eşlik eden yöntemlerin yaygın olarak benimsenmesine tanık oldu.

Hesaplama paradigmasının yayılması yeni bir eğitim kurumu tarafından desteklendi: Abaküs okulları. Bu okullar tüccar sınıfına hitap ediyordu ve yerel dilde eğitim vererek ve hesaplama, ölçme ve defter tutma gibi pratik beceriler lehine klasik çalışmalardan kaçınarak geleneksel Latin okullarından farklıydı. Ticari bir odakla, küçük çocuklara para değişimi, iş sözleşmeleri ve kar dağıtımıyla ilgili problemleri kullanarak matematik öğrettiler. 

Abaküs okulları güçlü bir eğitim gücü haline geldi. Rönesans Floransa'sında her üç erkek çocuktan biri Abaküs okullarına gidiyordu - ünlü öğrenciler arasında 'muhasebenin babası' Luca Pacioli ve genç Leonardo da Vinci de vardı. Okullar aynı zamanda matematikçilerin maestri d'abaco denilen pratik matematik öğretmenleri olarak kendilerini geçindirmeleri için bir pazar yarattı. Daha önce Öklid çevirmeni ve balistik üzerine bir yazar olarak karşılaştığımız Nicolo Tartaglia bir Abaküs öğretmeniydi.

Zamanla pratik matematik eğitimi İtalya'dan kuzeye doğru yayılmıştır. On beşinci yüzyılda Almanya'da Rechenmeister adı verilen kişiler pratik aritmetik eğitimi veren Rechenschulen'leri kurdular. Nürnberg'de 1615 yılına gelindiğinde, 50.000'den az nüfuslu bir şehirde bu türden en az 48 okul vardı. Bu yayılma, matematikçilerin popüler ders kitapları aracılığıyla geniş kitlelere ulaşmasını sağlayan matbaa tarafından desteklendi. Birçoğu klasik haline geldi: Adam Ries'in 1522 tarihli Rechnung auff der Linihen und Federn'i 114 baskı yaparken, Robert Recorde'un 1543 tarihli The Ground of Artes'i 46 baskı yaptı.

Tarihçi Raffaelle Danna, yeni matematiğin yayılımını incelemek için yakın zamanda yaptığı bir çalışmada, Hindu-Arap rakamlarıyla yazılmış 1.280 pratik aritmetik metninden oluşan bir veri tabanı derledi. Veritabanı, Liber Abaci'nin 1202'de yayınlanmasından 1600'e kadar yazılmış el yazması ve basılı formatta bilinen tüm aritmetik el kitaplarını içeriyor. Aşağıdaki harita, yeni matematiğin on beşinci ve on altıncı yüzyıllarda dışa doğru yayılmadan önce başlangıçta kuzey İtalya'da nasıl yoğunlaştığını göstererek, bunların zaman ve mekân içindeki kümülatif sayılarını göstermektedir.

On altıncı yüzyıl boyunca Protestanlık da matematiksel becerilerin yaygınlaşmasına katkıda bulunmuştur. Protestan reformcular hem teolojik hem de pratik amaçlar için eğitime güçlü bir vurgu yapmış ve kendisi de matematikçi ve astronom Johannes Stöffler'in öğrencisi olan Philip Melanchthon tarafından tasarlanan Protestan eğitim programında matematiğe merkezi bir rol verilmiştir. Fransız Petrus Ramus on altıncı yüzyılın ortalarında eğitimi genişletmeyi ve geliştirmeyi amaçlayan bir program oluşturdu. Ramus bir matematikçi olmamasına rağmen, matematiğin sağladığı pratik becerilerin değerine güçlü bir şekilde inanıyordu ve bu onun eğitim fikirlerinin merkezinde yer alıyordu. Ramizm olarak bilinen programı Almanya, Hollanda, İngiltere, İskoçya, İsveç ve bir dereceye kadar Fransa'daki okullarda kısa süreli ama önemli bir etki kazanmıştır. Fikirlerinin etkisi on yedinci yüzyılda azalmış olsa da, İngiliz İç Savaşı'nı kazanan ve New England'ı kolonileştiren dini muhalifler arasında geçerliliğini korumuştur.

Katolik Avrupa'da eğitim Cizvit tarikatının egemenliği altına girdi. 1540 yılında kurulan tarikatın temel amaçlarından biri çocukları ve gençleri eğitmekti. Okulları, kuruldukları şehirlerden gelen bağışlar ve ödemelerle finanse ediliyordu ve mezunlarının mezuniyetten sonra üç ila beş yıl boyunca öğretmenlik yapmalarını zorunlu kılarak hızla genişleyebiliyorlardı. Başlangıçta Cizvitler matematik öğretimini mevcut Abaküs okullarına karşı bir rekabet aracı ve yerel himayeyi çekmenin bir yolu olarak kullandılar. Ancak asıl odak noktaları teoloji ve klasik öğrenimdi ve matematiğin rolü tartışmalı kalmaya devam etti. 

Cizvitler on altıncı yüzyılın sonlarında müfredatlarını tartışırken, kendisi de bir Cizvit olan önde gelen matematikçi Clavius matematiğin merkezi bir rol oynaması gerektiğini savunmuş, ancak teoloji ve felsefeye öncelik vermek isteyenlerin muhalefetiyle karşılaşmıştır. Sonunda Clavius'un programı küçültüldü ve sonraki iki yüzyıl boyunca Cizvit eğitimini yönetecek olan 1599 tarihli Ratio Studiorum'da matematikten 100 sayfalık bir belgede sadece birkaç paragrafta bahsedildi ve matematik eğitimi yedi yıllık bir programın son yılına bırakıldı. Cizvit okulları René Descartes gibi seçkin matematikçiler yetiştirmeye devam etti, ancak matematiği uzun bir klasik müfredatın sonuna yerleştirerek, daha önceki Abaküs okulları ve Protestan ülkelerde bulunan Ramist program tarafından tercih edilen pratik aritmetik becerilerinin yaygınlaşmasını engellediler.

Geleneksel üniversitelerin matematiksel bilginin yayılması üzerinde karışık bir etkisi olmuştur. On dördüncü ve on beşinci yüzyıllarda Paris ve Viyana üniversiteleri Arap matematiğinin tanıtılmasına ve geliştirilmesine önemli katkılarda bulunmuş ve üniversiteler matematiksel bilginin sınırlarını zorlamak için önemli olmaya devam etmiştir. Melanchthon'un Protestan üniversiteleri için hazırladığı eğitim programı matematiğe önemli bir rol verdi, ancak matematik hâlâ daha çok gramer, mantık ve retoriğe odaklanan geleneksel skolastik müfredatın rekabetiyle karşı karşıyaydı.

Özellikle on yedinci yüzyılın başlarında Hollanda ve İsveç'te ve on yedinci yüzyılın sonlarında İskoçya'da olduğu gibi Ramist programın etkili olduğu bölgelerde istisnalar vardı. Yükseköğretimde matematiğin yaygınlaşması, devletin stratejik bir çıkarı olarak kabul edildiğinde daha da yaygınlaşmıştır. Bunun ilk örneklerinden biri on yedinci yüzyıl Fransız mühendislik okullarıdır ve bu uygulama on sekizinci yüzyılda yayılmış, matematik müfredatın önemli bir parçası olarak askeri yüksek okulların çoğalmasına tanıklık etmiştir.

Üniversiteler hesaplama paradigmasına karşı tutumlarında bocalarken, pratik matematiğin öğretimi özel eğitim için verimli bir zemin oluşturdu, çünkü ticaret, denizcilik ve alet yapımındaki mesleki fırsatlar matematiksel beceriler için ödeme yapma isteği yarattı. On yedinci yüzyılda İngiltere'de mektup yazma, çift girişli defter tutma ve aritmetik gibi pratik becerileri öğretmek için özel akademiler kurulmaya başlandı. On sekizinci yüzyılın sonunda bu türden 200 akademi vardı. İngiltere'de ayrıca düzenli yüksek eğitimden dışlanan Anglikan olmayanlar için eğitim sağlayan bir Muhalif Akademiler sistemi de vardı. Muhalif Akademiler tipik olarak geleneksel yüksek öğrenim kurumlarından daha pratik odaklı bir eğitim sağlıyordu.

Matematiksel becerilerin yaygınlaşması, uygulamalı matematik kitaplarının yaygınlaşmasıyla niceliksel olarak ölçülebilir. Ekonomi tarihçileri Morgan Kelly ve Cormac Ó Gráda'nın araştırmalarına dayanan aşağıdaki grafik, İngiltere'de şu konu başlıklarında yayınlanan kitapların sayısını göstermektedir: aritmetik, astronomi aletleri, defter tutma, pusula, geometri, topçuluk, logaritma, matematik, matematiksel aletler, ölçme, navigasyon, gemi yapımı, ölçme ve trigonometri. Bu konuların on altıncı yüzyılın başlarında İngiltere'de neredeyse hiç var olmadığını, ancak 1700'lere gelindiğinde her birinin on yılda yüzlerce yayına sahip olduğunu görüyoruz.

Matematik, mekanik sanatlar ve Sanayi Devrimi

1750 yılına gelindiğinde hesaplama paradigması tüm Avrupa'ya yayılmıştı. Çok çeşitli alanlarda yenilikleri desteklemiş ve bunu yaparken de modern dünyanın önünü açmıştı. Ancak klasik Sanayi Devrimi henüz başlamamıştı ve matematik henüz makineleşmiş üretim alanında yaygın bir başarı elde edememişti.

Bu başarısızlık ilgisizlikten kaynaklanmıyordu. Rönesans'tan beri matematikçiler mekanik sanatları fethetmeyi hayal ediyorlardı. Leonardo da Vinci mekanik üzerine matematiksel incelemeler yaptı ve ünlü uçan makinesini çizdi. İtalyan mühendis Ramelli 1588'de makine çizimlerinden oluşan koleksiyonunu, matematiği tüm mekanik sanatların temeli olarak kutlayan sekiz sayfalık bir önsözle tanıttı. 

Ancak Sanayi Devrimi'nden önce, istek çoğu zaman başarının önüne geçiyordu. Leonardo'nun makinelerinin birçoğunun çalışamaz olduğu biliniyordu ve Ramelli'nin makine kitabı popüler olsa da, uygulayıcılar bundan etkilenmemişti. Sanayi Devrimi'nden önce, uygulamacılar matematikçileri genellikle ciddiyetsiz olarak görüyorlardı.

Bu durum 1750'den sonra değişecektir. Sanayi Devrimi sırasında mühendisler, üretimi matematiksel bir planın uygulanması olarak ele alma konusunda kayda değer bir başarı elde ettiler. Rönesans matematikçilerinin başarısız olduğu yerde on sekizinci yüzyıl mühendisleri neden başarılı oldu?

Bunun önemli bir nedeni, on sekizinci yüzyıl mühendislerinin üretimde daha yüksek derecede hassasiyet elde edebilmeleriydi. Hassasiyet, sürtünmeyi azalttığı ve parçaların tekdüze bir şekilde davranmasını sağladığı için makineleşme için çok önemlidir - küçük sürtünmeler ve performans farklılıkları bile bir makinenin ince ayarlı işleyişini tehlikeye atabilir. 

Daha genel olarak hassasiyet, matematiksel idealleştirmelere uygun gerçek dünya nesneleri üretmeyi mümkün kılar. Böylece mühendisler makineleri soyut olarak hayal etmenin ötesine geçebilir ve güvenilir prototipler üretmeye başlayabilirler. Sanayi Devrimi'nin öncüleri hassasiyeti önemsedi ve devrim hız kazandıkça hassasiyet gereksinimleri de giderek daha katı hale geldi. 1770'lerde James Watt, buhar makinesinin silindirlerinin bir inçin 1/20'si hassasiyetinde delindiğini gururla ilan etti. 1850'lere gelindiğinde Joseph Whitworth'un kendi kendine hareket eden makineleri bir inçin 1/10.000'i kadar bir hassasiyeti hedefliyordu.

On sekizinci yüzyıl İngiltere'si, yüksek hassasiyetli işler yapabilen zanaatkârların bolluğuyla öne çıkıyordu. Kelly ve Ó Gráda tarafından toplanan kanıtlara göre, 1700-1800 yılları arasında İngiltere'de saat ve alet yapımcılarının sayısı iki katına çıkmıştır. Bu üreticiler saatlerin yanı sıra ölçme, navigasyon, defter tutma ve astronomi gibi matematiksel disiplinler için de aletler üretmişlerdir. Bu endüstrilerdeki zanaatkârlar matematik ve el emeği arasında bir köprü oluşturdular - ürünleri anlamak matematiksel anlayış gerektirirken, onları inşa etmek el becerisi gerektiriyordu. Sanayi Devrimi başladığında, bu alet yapımcıları devrimi yönlendiren karmaşık buhar ve dokuma makinelerini inşa etmek üzere işe alındılar.

Sanayi Devrimi'nin makinelerini tasarlamak temel aritmetik ve geometri gerektiriyordu: matematiksel bir planı takip etmediğiniz sürece hassasiyete takılıp kalamazsınız. Ancak, gereken matematik ileri düzeyde değildi. Temel matematiği bildikten ve pratikte kullanmaya kararlı olduktan sonra, asıl zorluk uygulamaydı. 

Bu açıdan bakıldığında, Sanayi Devrimi temel matematiğin ve niceliksel bir bakış açısının fiilen üretim yapan insan sınıfına ulaşmasını gerektiriyordu. İngiltere'de olan da buydu.

Sanayi Devrimi'nin öncülerinin çoğu sadece mütevazı bir örgün eğitim almış olsa da, temel matematik becerilerini edinmenin yollarını buldular. Bazen köy okulundaki kısa eğitim matematiksel bir eğitim veriyordu. İplik eğirme katırının mucidi Samuel Crompton babasını kaybetmiş ve küçük yaştan itibaren iplik eğiricisi olarak çalışmak zorunda kalmıştı, ancak öğretmenin 'özellikle yazı, aritmetik, defter tutma, geometri, ölçme ve matematik öğretmeni olarak hatırı sayılır bir üne sahip olduğu' bir okula gitti. Akşam sınıfları, örgün eğitimden mahrum kalmış insanlara hitap ediyordu. 'Demiryollarının babası' George Stephenson 18 yaşına geldiğinde yazı yazmayı ve aritmetiği bu şekilde öğrenmişti. Gelişen ders kitabı piyasası da kendi kendine eğitimi mümkün kıldı - ünlü saat ustası John Harrison'ın yolu da buydu. 

Öncülerin yaşamları matematiksel bir bakış açısına dair daha fazla kanıt sunmaktadır. Joseph Bramah (1748-1814) erken dönem hassas üretime katkıda bulunan bir çilingirdi. Babasının çiftliğinde çalışmak için 12 yaşında okulu bırakmış ve daha sonra marangoz olarak çıraklık yapmıştır. Ancak bu matematiksel bakış açısı, Kilitlerin Yapımı Üzerine İlkel İnceleme'den açıkça anlaşılmaktadır. Kitap, Bramah'ın kilitlerinin günümüzde matematikçilerin kombinatoryal patlama olarak adlandırdıkları, yani az sayıda nesnenin bile olağanüstü sayıda şekilde sıralanabileceği gerçeği sayesinde nasıl kırılmaz hale geldiğini açıklıyor. Bramah, bir kilidin sadece 12 farklı pozisyona sahip 12 hareketli parçası olsa bile, 'yerlerinde veya durumlarında yapılabilecek değişikliklerin nihai sayısının 479.001.600 olduğunu; ve bu sayıda sürgüye bir tane daha eklendiğinde, 6.227.020.800'e eşit sayıda değişiklik alabileceklerini; ve benzer şekilde sonsuza kadar başkalarının eklenmesiyle aşamalı olarak devam edeceklerini' belirtmektedir.

Bir başka örnek de Bramah'ın en ünlü öğrencisi, takım tezgahları üretiminin kurucu babası Henry Maudslay'dir. Maudslay de 12 yaşında çalışmaya başlamıştı, ancak matematiksel bir bakış açısına sahipti: hassas ölçüme durmaksızın odaklanmasıyla ünlüydü, yeni bir tür sürgülü cetvel icat etti ve kişisel yaşamında bireyleri 0 ile 100 arasında değişen bir derece ölçeğine göre sıraladığı bir sistem uyguladı. Belli ki, nicel bir dünya görüşü üniversite düzeyinde hesaplama gerektirmiyordu.

Günümüzde hesaplama

Anlatımız, modern dünyanın yükselişinin hesapçı paradigmanın yayılmasıyla nasıl bağlantılı olduğunu göstermektedir. 

Paradigmanın on üçüncü yüzyılda Arapça konuşulan ülkelerden Avrupa'ya girişinden sonra, başlangıçta birkaç üniversite ve İtalyan tüccar kasabalarıyla sınırlıydı. Ancak, paradigma verimli bir zemin buldu ve matbaa ve yeni eğitim kurumları tarafından desteklenerek yavaş yavaş tüm uzaya yayıldı. Aynı zamanda tüccarlar ve üniversite profesörleri arasındaki kökeninden yöneticiler, zanaatkârlar, küçük işletme sahipleri ve denizcileri de kapsayacak şekilde sosyal sınıflar arasında da yayıldı. On sekizinci yüzyılın sonlarında paradigma, Samuel Crompton'ın İngiltere'nin kuzeyindeki Bolton'da bulunan mütevazı köy okuluna bile ulaşmıştı.

Paradigmanın yayılmasının ardından, erken modern dönem boyunca resim, haritacılık, astronomi, navigasyon, fizik, devlet yönetimi, finans ve muhasebe alanlarında yenilikler görüyoruz. Ancak, teori ve pratik arasındaki uçurumu kapatmakta başarısız oldukları için matematikçilerin uzun süre atlattığı bir kilit nokta vardı: üretim süreci. On sekizinci yüzyıl İngiltere'sinde yeni bir mühendis ve alet yapımcısı sınıfı, temel matematik becerilerini matematiksel fikirleri uygulanabilir kılmak için gereken zanaatkârlıkla birleştirdi.

Hikayemiz, paradigmanın nihayet üretim sürecine ulaştığı 1800 yılında sona eriyor. Sonraki 200 yıl boyunca bu paradigma daha fazla insana ulaşarak ve daha fazla alana dokunarak yayılmaya devam etti. Evrensel eğitimin ortaya çıkışından bu yana, tüm çocukların Hint-Arap rakamlarıyla nasıl hesap yapılacağını bilmesini bekler hale geldik. Yakın zamana kadar sadece uzmanların yapabildiği ve birkaç kuzey İtalyan kasabası dışında yaygın olarak öğretilmeyen bir beceri için 'temel aritmetik' terimini kullanmamız manidardır.

Son 200 yılda matematiğin etkisi insan faaliyetlerinin neredeyse tüm alanlarında derinleşti; bu durum veri akışı ve bilgisayar gücündeki çarpıcı artışlarla da desteklendi. Artık matematiği nükleer savaşları modellemek, beyzbol takımları için oyuncu seçmek, edebiyattaki değişimleri takip etmek ve başkanlık seçimlerini tahmin etmek için kullanıyoruz. Bazen paradigma sınırlarına ulaşmış gibi görünüyor; matematikten faydalanabilecek her alan onunla tanıştı. Ancak şimdi hesaplama paradigmasının en büyük başarısına yaklaşıyor olabiliriz: büyük dil modelleri kullanarak matematik yoluyla zekayı modellemek. Bu anlamda, hesaplamalı paradigma mantıksal sonucuna ulaşıyor olabilir: 

Hepimizi matematiğe dönüştürmek.

https://tinyurl.com/4t6zc7eh